Einleitung

Das chaotische Wasserrad ist ein Demonstrationsexperiment der Nichtlinearen Physik. Hier wird ein Aufbau vorgestellt, der sich mit einfachen Mitteln der Schulphysik konstruieren und untersuchen lässt. Durch Dämpfung der Bewegung kann das Rad in Abhängigkeit von der Zuflussmenge in eine Rotation, eine Schwingung oder in einen chaotischen Zustand versetzt werden. Mit Hilfe entsprechender Software lassen sich aus den experimentell aufgezeichneten Zeitreihen chaotische (Lorenz ähnliche) Attraktoren rekonstruieren und analysieren.

Theorie

Das chaotische Wasser wurde vor 40 Jahren als experimentelle Realisierung für einen Spezialfall der Lorenz-Gleichungen entwickelt. Die Lorenz-Gleichungen sind das erste und womöglich auch das bekannteste Differentialgleichungssystem, bei dem chaotische Lösungen gefunden wurden. Strogatz [3] hat das chaotische Wasserrad, analog zur Herleitung des Lorenz-Systems, mathematisch durch drei Differentialgleichungen beschrieben, in die sich in die Lorenz-Gleichungen überführen lassen. Wie beim Lorenz-System, so gibt es auch beim chaotischen Wasserrad drei Bewegungszustände. Den Rotationszustand, bei dem sich das Rad mit meist variierender Winkelgeschwindigkeit in eine Richtung dreht, den oszillatorischen bzw. den Schwingungszustand, in dem der Gleichgewichtspunkt nicht überwunden wird. Dazwischen liegt der chaotische Zustand, in dem das System ständig zwischen Rotation und Schwingung wechselt. Wie Kolar und Gumbs [1] theoretisch bewiesen haben, lässt sich der chaotische Zustand nur bei einem Wasserrad realisieren, dessen Bewegung gedämpft wird.

Experiment

Grundsätzlich haben alle Wasserräder gemeinsam, dass sie durch einen Wasserzufluss bzw. durch das in den Schächten oder Behältern gestaute Wasser angetrieben werden. Das chaotische Wasserrad unterscheidet sich von "normalen" Wasserrädern durch ein kleines Abflussloch in jedem Behälter. Damit sich das Wasserrad in Bewegung setzt, müssen diese Löcher so klein sein, dass Wasser kurzfristig gestaut werden kann.

Man unterscheidet zwei Typen von Wasserrädern. Der erste Typ (Lorenz-Wasserrad) ist - wie "normale Wasserräder" - horizontal gelagert und verfügt über locker aufgehängte Wasserbehälter, ähnlich den Gondeln eines Riesenrades, wie man es von Jahrmärkten kennt. Bei dem zweiten Wasserradtyp (Malkus Wasserrad) ist die Achse gekippt und die Wasserbehälter meist fest an der Radkante befestigt.

Das hier untersuchte chaotische Malkus Wasserrad besteht aus 22 Plastik-Trinkbechern (0,2 Liter), die um eine 22-Zoll-Fahrradfelge geklebt werden. Die Felge wird fest mit einer Achse verbunden, die über eine Fahrradnabe an einer Querstange befestigt wird. Am oberen Ende der rotierenden Achse wird ein Tachometer zur Messung der Bewegung angebracht. Die variierende Spannung wird mit einem Interface (Cassy oder Meilhaus U12) digitalisiert und mit dem PC analysiert. Damit das Rad sich auch chaotisch bewegt muss die Bewegung gedämpft werden. Dies gelingt mit einer Wirbelstrombremse, die ein bremsendes Moment proportional zur Winkelgeschwindigkeit auf das Rad ausübt. Die Wirbelstrombremse wurde durch eine Kupfer-Kreisscheibe und zwei Paar Neodym-Eisen-Bor Permanentmagnete realisiert, was ausreicht um einen schmalen chaotischen Bereich zu erzeugen. Der Zufluss erfolgt über ein Zuflussrohr, das die Verteilung des Zuflusses über drei Becher zulässt. Auch wenn die Messung mit symmetrischem Zulauf erfolgt, ist das Rad interessanterweise in der Lage gegen den Zulauf zu rotieren. Um die Bewegungszustände reproduzieren zu können, wird der Zufluss mit einem Durchflussmesser bestimmt. Die drei Zustände Rotation, Chaos und Schwingung werden so in Abhängigkeit des Zuflusses bei verschiedenen Dämpfungen nachgewiesen. Zusätzlich wird der Einfluss des Neigungswinkels, der Zuflussverteilung und der Lochgrößen überprüft.

Literatur